Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F（-2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2：

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在橢圓C的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)|

MP

|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比聯(lián)立方程求得a和b，進(jìn)而可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷x的范圍．代入

MP

判斷因?yàn)楫?dāng)|

MP

|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，
進(jìn)而求得m的范圍．點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上進(jìn)而推脫m的最大和最小值．綜合可得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意

a2=b2+c2 a：b=2： 3 c=2.

解得a²=16，b²=12．
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，故-4≤x≤4．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

MP

=(x-m，y)，
所以|

MP

|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-

x2

16

)=

1

4

x2-2mx+m2+12=

1

4

(x-4m)2+12-3m2．
因?yàn)楫?dāng)|

MP

|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，
即當(dāng)x=4m時(shí)，|

MP

|2取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即-4≤m≤4．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常需先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)題設(shè)中關(guān)于長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程等求得a和b，進(jìn)而得到答案．