Question

給出下列命題：
①若橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動(dòng)點(diǎn)P不一定在該橢圓外部；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以

p

2

為半徑的圓與該拋物線必有3個(gè)不同的公共點(diǎn)；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)；
④拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值≥1．
其中真命題的序號(hào)為

①③④

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①利用橢圓的定義，可得橢圓上的點(diǎn)P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，故可判斷；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以

p

2

為半徑的圓的方程為(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，與拋物線y²=2px聯(lián)立，即可求得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
③分別求出雙曲線、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷；
④求出拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值，即可得結(jié)論．

解答：解：①橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，∴橢圓上的點(diǎn)P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，∴動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動(dòng)點(diǎn)P不一定在該橢圓外部，故①為真命題；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以

p

2

為半徑的圓的方程為(x-

p

2

)2+y2=

p2

4

，將拋物線y²=2px代入，并化簡(jiǎn)可得：x²+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以

p

2

為半徑的圓與該拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)，故②為假命題；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y2=1的焦點(diǎn)為（±

34

，0），因此雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)，故③為真命題；
④設(shè)拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則P到其焦點(diǎn)的距離為

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+4x

=

(x+1)2

∵x≥0，∴P到其焦點(diǎn)的距離為x+1，∴x+1≥1，∴拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值≥1，故④為真命題
故真命題為①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查圓錐曲線的性質(zhì)，考查圓錐曲線的綜合，解題時(shí)，需要利用性質(zhì)一一進(jìn)行判斷．