Question

【題目】

已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，為正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點(diǎn)，

（ⅰ）證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）.（II）（ⅰ）直線AE過定點(diǎn).（ⅱ）的面積的最小值為16.

【解析】

試題（I）由拋物線的定義知，

解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設(shè)，

可得，即，直線AB的斜率為，

根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，

代入拋物線方程得，

整理可得，

直線AE恒過點(diǎn).

注意當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn)，

得到結(jié)論：直線AE過定點(diǎn).

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點(diǎn)，

得到，

設(shè)直線AE的方程為，

根據(jù)點(diǎn)在直線AE上，

得到，再設(shè)，直線AB的方程為，

可得，

代入拋物線方程得，

可求得，，

應(yīng)用點(diǎn)B到直線AE的距離為.

從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.

試題解析：（I）由題意知

設(shè)，則FD的中點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，

由拋物線的定義知：，

解得或（舍去）.

由，解得.

所以拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，則，

由得，故，

故直線AB的斜率為，

因?yàn)橹本�和直線AB平行，

設(shè)直線的方程為，

代入拋物線方程得，

由題意，得.

設(shè)，則，.

當(dāng)時，，

可得直線AE的方程為，

由，

整理可得，

直線AE恒過點(diǎn).

當(dāng)時，直線AE的方程為，過點(diǎn)，

所以直線AE過定點(diǎn).

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點(diǎn)，

所以，

設(shè)直線AE的方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，

故，

設(shè)，

直線AB的方程為，

由于，

可得，

代入拋物線方程得，

所以，

可求得，，

所以點(diǎn)B到直線AE的距離為

.

則的面積，

當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.

所以的面積的最小值為16.