Question

（2011•寧波模擬）已知拋物線y=ax²（a＞0），直線l₁、l₂都過點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線相切．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值．
（2）直線l₁、l₂與分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，求△PAB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意直線l₁，l₂的斜率分別設(shè)為k₁，k₂，過點(diǎn)P（1，-2）的直線設(shè)為y=k（x-1）-2，由

y=k(x-1)-2 y=ax2

，得ax²-kx+k+2=0，由直線l₁、l₂都過點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線相切，知

a≠0 △=k2-4ak-8a=0

，再由l₁⊥l₂，能求出a的值．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得x1=

2

k1

+1．l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得x2=

2

k2

+1.|AB|=|x1-x2|=|(

2

k  1

+1)-(

2

k2

+1)|=

1+ 2 a

．由此能求出△PAB面積S的取值范圍．

解答：解：（1）由題意直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
分別設(shè)為k₁，k₂，
過點(diǎn)P（1，-2）的直線設(shè)為y=k（x-1）-2，
由

y=k(x-1)-2 y=ax2

，得ax²-kx+k+2=0，
∵直線l₁、l₂都過點(diǎn)P（1，-2）且都與拋物線相切，
∴

a≠0 △=k2-4ak-8a=0

，
∴k₁+k₂=4a，k₁k₂=-8a．
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=-8a=-1，
∴a=

1

8

．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得x1=

2

k1

+1．
l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得x2=

2

k2

+1．
∴|AB|=|x1-x2|=|(

2

k  1

+1)-(

2

k2

+1)|
=2|

1

k1

-

1

k2

|
=2|

k2-k1

k1k2

|
=2

(k1+k2)2-4k1k2 (k1k2)2

=2

16a2+32a 64a2

=

1+ 2 a

．
∴S△ABP=

1

2

|AB|d=

1

2

|x1-x2|•2
=

1+ 2 a

，
∵a＞0，
∴S_△ABP＞1．

點(diǎn)評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．