Question

（本題滿分18分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分8分，第（3）小題滿分6分。

定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。

若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍？

如圖：直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，證明：

Answer 1

解：（1）橢圓與相似。-------------------2分

因?yàn)闄E圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為-------------------4分

（2）橢圓的方程為：-------------------6分

設(shè)，點(diǎn)，中點(diǎn)為，

則，所以-------------------8分

則                    -------------------9分

因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上，所以有，-------------------10分

即直線的方程為：，

由題意可知，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

所以，即-------------------12分

（3）證明：

①直線與軸垂直時(shí)，易得線段AB與CD的中點(diǎn)重合，所以；-------------------14分

②直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，

線段AB的中點(diǎn)，

-------------------15分

線段AB的中點(diǎn)為-------------------16分

同理可得線段CD的中點(diǎn)為，-------------------17分

即線段AB與CD的中點(diǎn)重合，所以-------------------18分