【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若對所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=1+lnx.
令f'(x)>0,解得 ;令f'(x)<0,解得 .
從而f(x)在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增.
所以,當(dāng) 時(shí),f(x)取得最小值 .
(Ⅱ)依題意,得f(x)≥ax﹣1在[1,+∞)上恒成立,
即不等式 對于x∈[1,+∞)恒成立.
令 ,
則 .
當(dāng)x>1時(shí),
因?yàn)? ,
故g(x)是[1,+∞)上的增函數(shù),
所以g(x)的最小值是g(1)=1,
從而a的取值范圍是(﹣∞,1]
【解析】(Ⅰ)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值.(Ⅱ)將f(x)≥ax﹣1在[1,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式 對于x∈[1,+∞)恒成立,然后令 ,對函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷其單調(diào)性進(jìn)而求出最小值,使得a小于等于這個(gè)最小值即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計(jì)A的概率.
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg | 箱產(chǎn)量≥50kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C和拋物線y2=x交于M,N兩點(diǎn),且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l和橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且 =2 ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則M的軌跡方程為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,x1 , x2∈(0, ),且x1<x2 , 則下列結(jié)論中正確的是( )
A.(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0
B.f( )<f( )
C.x1f(x2)>x2f(x1)
D.x2f(x2)>x1f(x1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn).
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點(diǎn)為,且直線與拋物線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在, 求的值;若不存在, 說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱A1B1C1 - ABC中,側(cè)棱AA1丄底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中點(diǎn),則下列敘述正確的是
A. CC1與B1E是異面直線 B. AC丄平面ABB1A1
C. A1C1∥平面AB1E D. AE與B1C1為異面直線,且AE丄B1C1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若m﹣ <x (m∈Z),則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù),記作{x},即m={x},關(guān)于函數(shù)f(x)=x﹣{x}的四個(gè)命題:①定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋ī? , ]; ②點(diǎn)(k,0)是函數(shù)f(x)圖象的對稱中心(k∈Z);③函數(shù)f(x)的最小正周期為1; ④函數(shù)f(x)在(﹣ , ]上是增函數(shù).上述命題中,真命題的序號是
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