Question

已知點(diǎn)A（2，0），B（2，1），C（0，1），動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，k為參數(shù)．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（Ⅱ）如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y），利用題目中向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得向量的坐標(biāo)后代入題中向量條件，化簡(jiǎn)即得軌跡方程，為了說(shuō)明它是什么類型，必須對(duì)參數(shù)k進(jìn)行討論；
（2）依據(jù)圓錐曲線離心率的范圍得曲線是橢圓，依據(jù)橢圓形式求得離心率的表達(dá)式，建立不等關(guān)系求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），
則，
d=|y-1|．（2分）
代入
得（1-k²）x²+2（k-1）x+y²=0為所求軌跡方程（3分）
當(dāng)k=1時(shí)，得y=0，軌跡為一條直線；（4分）
當(dāng)k≠1時(shí)，得
若k=0，則點(diǎn)M的軌跡為圓；（5分）
若k＞1，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；（6分）
若0＜k＜1或k＜0，則點(diǎn)M的軌跡為橢圓（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221151398925282/SYS201311012211513989252018_DA/3.png">，
所以方程表示橢圓（9分）
對(duì)于方程
①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，a²=1，b²=1-k，c²=a²-b²=1-（1-k）=k
此時(shí)，而，
所以（11分）
②當(dāng)k＜0時(shí)，a²=1-k，b²=1，c²=-k
所以（13分）
所以（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標(biāo)和數(shù)量積運(yùn)算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．