【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1= ,Sn=n2an﹣n(n﹣1),n=1,2,…
(1)證明:數(shù)列{ Sn}是等差數(shù)列,并求Sn;
(2)設(shè)bn= ,求證:b1+b2+…+bn< .
【答案】
(1)證明:∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1= ,Sn=n2an﹣n(n﹣1),
∴n≥2時(shí),有an=Sn﹣Sn﹣1,
∴Sn=n2(Sn﹣Sn﹣1)﹣n(n﹣1),
∴(n2﹣1)Sn=n2Sn﹣1+n(n﹣1),
∴ = +1,
∴ = +1,
又 = =1,
∴數(shù)列{ Sn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
∴ =1+(n﹣1)×1=n,
∴Sn=n× =
(2)證明:bn= = = = ,
∴b1+b2+…+bn= ( )
=
=
= .
∴b1+b2+…+bn<
【解析】(1)由已知條件得Sn=n2(Sn﹣Sn﹣1)﹣n(n﹣1),從而 = +1,由此能證明數(shù)列{ Sn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,從而得到Sn=n× = .(2)由bn= = = = ,利用裂項(xiàng)求和法能證明b1+b2+…+bn< .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí),掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解,了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P在圓C:x2+y2=4上,而Q為P在x軸上的投影,且點(diǎn)N滿足 ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)若A,B是曲線E上兩點(diǎn),且|AB|=2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB的面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)存在一條切線與直線y=x平行,求a的取值范圍;
(2)當(dāng)0<a<2時(shí),若f(x)在[a,2]上的最大值為﹣ ,求a的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= cos2x﹣2cos2(x+ )+1.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0, ]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,不等式 + ≥ 成立;在四邊形ABCD中,不等式 + + + ≥ 成立成立;在五邊形ABCDE中,不等式 + + + + ≥ 成立…,依此類(lèi)推,在n邊形A1A2…An中,不等式不等式 ≥成立.
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【題目】如圖,已知三棱錐P﹣ABC的底面是等腰直角三角形,且∠ACB= ,側(cè)面PAB⊥底面ABC,AB=PA=PB=2.則這個(gè)三棱錐的三視圖中標(biāo)注的尺寸x,y,z分別是( )
A. ,1,
B. ,1,1
C.2,1,
D.2,1,1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣lnx(ln2≈﹣0.693, ≈1.648,均為不足近似值)
(1)當(dāng)x≥1時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)> 恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:(x﹣ )2+(y﹣1)2=1和兩點(diǎn)A(﹣t,0),B(t,0)(t>0),若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則當(dāng)t取得最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.( , )
B.( , )
C.( , )
D.( , )
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【題目】如圖,PA⊥平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P﹣CD﹣B為45°,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離.
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