Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分別為線段PC、BD的中點．
（1）求證：直線EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（3）線段AB上是否存在一點M，使二面角M-PD-C為45°．

Answer 1

分析：取AD的中點O，連接OP，OF．因為PA=PD，所以PO⊥AD，再根據(jù)側面PAD⊥底面ABCD，結合平面與平面垂直的性質(zhì)定理，得到PO⊥平面ABCD，然后在△PAD中利用勾股定理的逆定理得到△PAD是等腰直角三角形，并且OP=OA=OD=

a

2

．這樣就可以O為原點，直線OA、OF、OP為x、y、z軸建立空間直線坐標系，得到A、B、C、D、F、P各點的坐標．
（1）分別算出向量

EF

和平面PAD的法向量

OF

的坐標，可以算出它們的數(shù)量積為零，從而得到

OF

和

EF

互相垂直，證出直線EF∥平面PAD；
（2）取平面PAD內(nèi)的向量

PA

，通過坐標計算證出向量

PA

與

CD

互相垂直，從而直線PA、CD互相垂直，再結合PA、PD互相垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理得到PA⊥平面PDC，結合面面垂直的判定定理證出平面PDC⊥平面PAD；
（3）先假設線段AB上存在一點M（

a

2

，m，0），滿足二面角M-PD-C大小為45°，然后再設平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），結合向量

n

與

DP

、

n

與

DM

的數(shù)量積都等于0，聯(lián)列方程組解出x，y，z的比例，取x=1，得到向量

n

=（1，-

a

m

，-1），最后根據(jù)兩個向量

n

與平面PDC的法向量為

PA

=（

a

2

，0，-

a

2

）的夾角為45°，用數(shù)量積公式解出AM=

2

2

a，從而找到符合題意的M點．

解答：解：如圖，取AD的中點O，連接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD
∴PO⊥底面ABCD，
∵O、F分別為AD、BD的中點，
∴OF∥AB，結合ABCD是正方形，
可得OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，
∴PA⊥PD，OP=OA=OD=

a

2

．
以O為原點，直線OA、OF、OP為x、y、z軸建立空間直線坐標系，
則有A（

a

2

，0，0），F(xiàn)（0，

a

2

，0），D（-

a

2

，0，0），P（0，0，

a

2

），B（

a

2

，a，0），C（-

a

2

，a，0），．
∵E為PC的中點，∴E（-

a

4

，

a

2

，

a

4

）．
（1）由OF⊥平面PAD，得平面PAD的法向量為

OF

=（0，

a

2

，0），
而

EF

=（

a

4

，0，-

a

4

），且

OF

•

EF

=0×

a

4

+

a

2

×0+0×(-

a

4

)=0，
∴EF∥平面 PAD
（2）

PA

=（

a

2

，0，-

a

2

），

CD

=（0，a，0）
∴

PA

•

CD

=

a

2

×0+0×a+( -

a

2

)×0=0，
∴

PA

⊥

CD

，從而PA⊥CD，
又∵PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD
（3）由（2）知平面PDC的法向量為

PA

=（

a

2

，0，-

a

2

）．
設線段AB上存在一點M（

a

2

，m，0），使二面角M-PD-C為45°．
再設平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z）．
∵

DP

=(

a

2

，0，

a

2

)，

DM

=(a，m，0)，
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

DM

=0，可得

a 2 x+ a 2 z=0 ax+my=0

，
令x=1，則

n

=(1，-

a

m

，-1)，二面角M-PD-C為45°
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n |•| PA |

=

a

2+ a2 m2 • 2 a 2

=

2

2

．
∴m=

2

2

a
即線段AB上存在一點M，當AM=

2

2

a時，二面角M-PD-C的大小為45°．

點評：本題以一個特殊四棱錐為例，考查了平面與平面垂直的判定、直線與平面平行的判定和用空間向量求平面間的夾角和與二面角有關的立體幾何綜問題等知識點，屬于中檔題．