Question

已知A、B分別是直線和上的兩個動點，線段AB的長為，P是AB的中點．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點Q（1，0）任意作直線l（與x軸不垂直），設l與（1）中軌跡C交于M、N，與y軸交于R點．若，，證明：λ+μ 為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用P是線段AB的中點，可得，進而可得，利用，即可求得動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程代入橢圓方程，消去y并整理，利用韋達定理及，，可得，，化簡可得結論．
解答：解：（1）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是線段AB的中點，∴                           …（2分）
∵A、B分別是直線 和 上的點，
∴ 和．
∴                                …（4分）
又，∴．                  …（5分）
∴，∴動點P的軌跡C的方程為．      …（8分）
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-1）．
設M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點坐標滿足方程組
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，…（10分）
∴，①．    ②…（12分）
∵，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即，∴x₃=λ（1-x₃）．
∵l 與x 軸不垂直，∴x₃≠1，
∴，同理．                           …（14分）
∴λ+μ====-．
∴為定值．                  …（16分）
點評：本題考查動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定λ、μ的值是關鍵．