Question

、已知函數(shù)f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

解題分析：三次函數(shù)是高考導(dǎo)數(shù)部分依托的主要函數(shù)，本題主要考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值問題，屬于常規(guī)問題。   

解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （II）因為f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

     所以f(2)>f(－2)．因為在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．

解題回顧：三次函數(shù)是高考導(dǎo)數(shù)部分依托的主要函數(shù)，對于三次函數(shù)性質(zhì)的研究是近年來導(dǎo)數(shù)考查的重點(diǎn)內(nèi)容。