證明下列不等式：
（1）對任意的正實數(shù)a，b，有
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．
分析：（1）利用作差法證明即可；
（2）令a=
1
5k
，可知
1
1+
1
5k
≥
1
1+b
-
1
5k
-b
(1+b)2
（k=0，1，2，…，n）⇒
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
n
k=0
C
k
n
•
1
1+b
-
n
k=0
1
5k
-b
(1+b)2
，利用組合數(shù)的性質可證得右端=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
[(1+
1
5
)n-b•2n]，再令b=(
3
5
)n，可證左端
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
2n
1+
3n
5n
-
1
(1+
3n
5n
)2
[(1+
1
5
)n-(
6
5
)n]=
2n
1+
3n
5n
=
2n•5n
5n+3n
，從而可使結論得證．
解答：證明：（1）∵
1
1+a
-
1
1+b
+
a-b
(1+b)2
=
b-a
(1+a)(1+b)
+
a-b
(1+b)2
=
(b-a)2
(1+a)(1+b)2
，
∵a＞0，b＞0，
∴
(b-a)2
(1+a)(1+b)2
≥0，
故
1
1+a
≥
1
1+b
-
a-b
(1+b)2
；
（2）令a=
1
5k
，k=0，1，2，…，n．由（1）得：
1
1+
1
5k
≥
1
1+b
-
1
5k
-b
(1+b)2
，k=0，1，2，…，n
∴
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
C
k
n
•
1
1+b
-
C
k
n
•
1
5k
-b
(1+b)2
，k=0，1，2，…，n
∴
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
n
k=0
C
k
n
•
1
1+b
-
n
k=0
1
5k
-b
(1+b)2

=
1
1+b
n
k=0
C
k
n
-
1
(1+b)2
n
k=0
C
k
n
（
1
5k
-b）
=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
（
n
k=0
C
k
n
•
1
5k
-b
n
k=0
C
k
n
）
=
2n
1+b
-
1
(1+b)2
[(1+
1
5
)n-b•2n]，
令b=(
3
5
)n，
則
n
k=0
C
k
n
•
1
1+
1
5k
≥
2n
1+
3n
5n
-
1
(1+
3n
5n
)2
[(1+
1
5
)n-(
6
5
)n]=
2n
1+
3n
5n
=
2n•5n
5n+3n
，
即
C
0
n
•
50
50+1
+
C
1
n
•
51
51+1
+
C
2
n
•
52
52+1
+…+
C
n
n
•
5n
5n+1
≥
2n•5n
3n+5n
，n∈N．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查等價轉化思想與抽象思維、邏輯推理能力，屬于難題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）a，b都是正數(shù)，且a+b=1，求證：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9；
（2）設實數(shù)x，y滿足y+x2=0，且0＜a＜1，求證：loga(ax+ay)＜
1
8
+loga2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列不等式．
（1）求證：當a、b、c為正數(shù)時，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
（2）已知n≥0，試用分析法證明：
n+2
-
n+1
＜
n+1
-
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•太原模擬）證明下列不等式：
（1）用分析法證明：
3
+
8
＞1+
10
；
（2）已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，證明a2+b2+c2＞ab+bc+ca．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則
b+c
a
x2+
c+a
b
y2+
a+b
c
z2≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則
y+z
x
+
z+x
y
+
x+y
z
≥2（
1
x
+
1
y
+
1
z
）

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