Question

【題目】已知橢圓M： + =1（a＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（﹣1，0），左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)镕（﹣1，0）為橢圓的焦點(diǎn)，所以c=1，

又b= ，所以a=2，

所以橢圓方程為 =1；

（Ⅱ）直線l無斜率時(shí)，直線方程為x=﹣1，

此時(shí)D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，

當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），

和橢圓方程聯(lián)立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

此時(shí)|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|

=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = ，（k=± 時(shí)等號(hào)成立）

所以|S1﹣S2|的最大值為

【解析】（Ⅰ）由焦點(diǎn)F坐標(biāo)可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（Ⅱ）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)可得，|S1﹣S2|=0；當(dāng)直線l斜率存在（顯然k≠0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1，x2的式子，進(jìn)而變?yōu)殛P(guān)于k的表達(dá)式，再用基本不等式即可求得其最大值．