Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA．
（Ⅰ）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

（I）證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC∈平面ABCD，
因為四邊形ABCD為正方形，
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D，
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因為G、F分別是PB、PC中點，
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）因為PD⊥平面ABCD，
四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA=1，
則PD=AD=2，所以V_p-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}，PD=

8

3

由于DA⊥面MAB的距離
所以DA即為點P到平面MAB的距離，
三棱錐Vp-MAB=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
所以V_P-MAB：V_P-ABCD=1：4．