Question

20、求證：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式，先驗(yàn)證n=2時(shí)成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)成立即可

解答：證明：由于|x|＜1，n≥2，n∈N．
當(dāng)n=2時(shí)，（1+x）²+（1-x）²=2+2x²＜4=2²，當(dāng)n=2時(shí)成立
假設(shè)n=k時(shí)成立，即（1+x）^k+（1-x）^k＜2^k成立
當(dāng)n=k+1時(shí)，則：（1+x）^k+1+（1-x）^k+1=（1+x）^k×（1+x）+（1-x）^k×（1-x）=（1+x）^k+x（1+x）^k+（1-x）^k-x（1-x）^k＜2^k+x[（1+x）^k-（1-x）^k]
=2^k+x（2C_k¹x+2C_k³x³+…）=2^k+（2C_k¹+2C_k³+…）=2^k+2^k=2^k+1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立
綜上知：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，求解本問題的關(guān)鍵是是掌握數(shù)學(xué)歸納法證明的原理，先證初始值成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，然后證n=k+1時(shí)成立．