Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C、BB₁A₁A為全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，D為棱C₁C上異于C、C₁的一點，且DB⊥DA₁．
（1）求證：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）依題意，可知BA，BC，BB₁兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸建立空間坐標(biāo)系，則

BD

=(1，y，0)，

DA1

=(-1，2-y，1)，由向量法能夠證明B₁D⊥平面ABD．
（2）由題意A₁B₁⊥B₁D，又

B1D

=(1，-1，0)，

DA

=(-1，-1，1)，故

B1D

•

DA

=0，B₁D⊥AD，設(shè)二面角A-DB₁-A₁的大小為θ，由向量法能夠求出二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值．

解答：（1）證明：依題意，可知BA，BC，BB₁兩兩垂直，
以B為坐標(biāo)原點，BC為x軸，BB₁為y軸，BA為z軸建立空間坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
設(shè)D（1，y，0），則

BD

=(1，y，0)，

DA1

=(-1，2-y，1)，
∵DB⊥DA₁，

BD

•

DA1

=-1+y(2-y)=0⇒y=1
從而

B1D

=(1，-1，0)，

BD

=(1，1，0)，

BA

=(0，0，1)，
∴

B1D

•

BD

=0，

B1D

•

BA

=0，
∴B₁D⊥BD，B₁D⊥BA，
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由題意A₁B₁⊥B₁D，
又

B1D

=(1，-1，0)，

DA

=(-1，-1，1)，
∴

B1D

•

DA

=0，
∴B₁D⊥AD，
設(shè)二面角A-DB₁-A₁的大小為θ
則cosθ=|

DA • B1A1

| DA |•| B1A1 |

|=

3

3

，
即二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意向量法的合理運用．