Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y₁、y₂萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系分別為y1=m

x+1

+a，y₂=bx，（其中m，a，b都為常數(shù)），函數(shù)y₁，y₂對(duì)應(yīng)的曲線C₁、C₂如圖所示．
（1）求函數(shù)y₁、y₂的解析式；
（2）若該商場一共投資4萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的圖象知，兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，

5

8

)，由此列出關(guān)于m，a的方程組，解出m，a的值，即可得到函數(shù)y₁、y₂的解析式；
（2）對(duì)甲種商品投資x（萬元），對(duì)乙種商品投資（4-x）（萬元），根據(jù)公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；再利用配方法確定函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求得總利潤y的最大值．

解答：解：（1）由題意

m+a=0 3m+a= 8 5

，解得m=

4

5

，a=-

4

5

，y1=

4

5

x+1

-

4

5

，(x≥0)…（4分）
又由題意8b=

8

5

得b=

1

5

，y2=

1

5

x（x≥0）…（7分）
（不寫定義域扣一分）
（2）設(shè)銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入（4-x）萬元
由（1）得y=

4

5

x+1

-

4

5

+

1

5

(4-x)，（0≤x≤4）…（10分）
令

x+1

=t，(1≤t≤

5

)，則有y=-

1

5

t2+

4

5

t+

1

5

=-

1

5

(t-2)2+1，(1≤t≤

5

)，
當(dāng)t=2即x=3時(shí)，y取最大值1．
答：該商場所獲利潤的最大值為1萬元．…（14分）
（不答扣一分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的構(gòu)建以及換元法、配方法求函數(shù)的最值，體現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．