Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， 的上單調(diào)遞增．（2）或．

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，并因式分解，安裝導(dǎo)函數(shù)是否變號進(jìn)行分類討論：當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)不變號，在定義區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)由負(fù)變正，單調(diào)性先減后增（2）構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合（1）討論單調(diào)性，確定對應(yīng)最小值，解出對應(yīng)的取值范圍．

試題解析：解：（1），定義域為，

．

①當(dāng)，即時，令， ∵，∴，

令， ∵， ∴；

②當(dāng)，即時， 恒成立，

綜上，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時， 的上單調(diào)遞增．

（2）由題意可知，在上存在一點，使得成立，

即在上存在一點，使得，

即函數(shù)在上的最小值．

由（1）知，①當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，

∴， ∴，

∵， ∴；

②當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增， ∴， ∴；

③當(dāng)，即時， ∴，

∵， ∴， ∴，

此時不存在使成立，

綜上可得的取值范圍是或．