Question

某同學(xué)參加3門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為

4

5

，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＞q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立．記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	6 125	a	d	24 125

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；
（Ⅱ）求數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由題意知事件該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績與事件“ξ=0”是對立的，要求該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率，需要先知道該生沒有一門課程優(yōu)秀，根據(jù)對立事件的概率求出結(jié)果．
（II）由題意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根據(jù)互斥事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到這兩個(gè)值，求出概率之后，問題就變?yōu)榍笃谕��?/div>

解答：解：事件A表示“該生第i門課程取得優(yōu)異成績”，i=1，2，3．
由題意可知
P(A1)=

4

5

，P(A2)=p，P(A3)=q
（I）由于事件“該生至少有一門課程取得優(yōu)異成績”與事件“ξ=0”是對立的，
∴該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績的概率是
1-P（ξ=0）=1-

6

125

=

119

125

（II）由題意可知，
P（ξ=0）=P( 

.

A1

 

.

A2

.

A3)

 =

1

5

(1-p)(1-q)=

6

125

，
P（ξ=3）=P(A1A2A3)=

4

5

pq=

24

125

整理得p=

3

5

，q=

2

5

．
∵a=P（ξ=1）=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2

.

A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q
=

37

125

d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

58

125

∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=

9

5

點(diǎn)評：本題課程互斥事件的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是一道綜合題，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題．