Question

設函數(shù)f（x）=+ax+b（x＞-1）．
（I）若函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）若函數(shù)f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由f（x）=+ax+b（x＞-1）．
得到f′（x）=2x²+2x+a，
因為函數(shù)在（-1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
所以f′（x）=2x²+2x+a≤0在（-1，+∞）恒成立，由于拋物線開口向上，2x²+2x+a≤0不可能成立；
所以f′（x）=2x²+2x+a≥0在（-1，+∞）恒成立，
則a≥-2x²-2x?a≥
所以實數(shù)a的取值范圍是：[，+∞）．
（II）∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值
由題意f′（x）=2x²+2x+a=0在（-1，+∞）上有兩解，
∴?0＜a＜
故實數(shù)a的取值范圍0＜a＜．
分析：（I）由f（x）的解析式求出導函數(shù)，導函數(shù)為開口向上的拋物線，因為函數(shù)在（-1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，所以導函數(shù)與x軸沒有交點，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)a的取值范圍．
（II）先對函數(shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，可以得到△＞0且f′（-1）＞0，進而可解出a的范圍．
點評：此題考查函數(shù)在某點取得極值的條件、考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．