Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

．一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M，N兩點．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，確定P的軌跡為橢圓，即可求曲線E的方程；
（2）直線MN的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合向量知識，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），
由題意，可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2

2

∴P的軌跡為橢圓
設(shè)它的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a=

2

，c=1
∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）直線MN的方程為y=k（x+1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
∵△=8k²+8＞0
∴方程有兩個不等的實數(shù)根
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

∴

BM

=（x₁-1，y₁），

BN

=（x₂-1，y₂）
∴

BM

•

BN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=

7k2-1

1+2k2

∵∠MBN是鈍角
∴

BM

•

BN

＜0，即

7k2-1

1+2k2

＜0
解得：-

7

7

＜k＜

7

7

又M、B、N三點不共線
∴k≠0
綜上所述，k的取值范圍是(-

7

7

，0)∪(0，

7

7

)．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．