如圖平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線BD=2.求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

思路分析：本題要求線段長(zhǎng)度問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來(lái)解決.

解：設(shè)=a，=b，則=a-b, =a+b.

而||=|a-b|=,

∴||2=5-2a·b=4.①

又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.

由①得2a·b=1,

∴||2=6,∴||=,即AC=.

溫馨提示

(1)合理地選擇基底是解決好問(wèn)題的第一步，雖說(shuō)任意兩個(gè)不共線的向量都可以做基底，但選擇恰當(dāng)與否直接關(guān)系到解題過(guò)程的簡(jiǎn)單與復(fù)雜.

(2)幾何問(wèn)題用向量法解決體現(xiàn)出了較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，有關(guān)線段的長(zhǎng)度、平行、夾角等問(wèn)題都可考慮向量法.

(3)在解決本題中，不用解斜三角形，而用向量的數(shù)量積及模的知識(shí)解決，過(guò)程中采取整體代入，使問(wèn)題解決簡(jiǎn)捷明快.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，設(shè)
AB
=a，
AC
=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•大連二模）任選一題作答選修：幾何證明選講如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．
（I）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
（Ⅱ）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設(shè)
AB
=a，
AC
=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年山東省聊城市某重點(diǎn)高中高三（上）第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設(shè)，，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年山東省聊城市某重點(diǎn)高中高三（上）第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在△ABC中，設(shè)，，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比．

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