Question

已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“域同區(qū)間”.試問函數(shù)在上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域與導數(shù)，求出極值點，解有關(guān)導數(shù)的不等式，從而確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)定義得到，，問題轉(zhuǎn)化為求方程在區(qū)間上的實數(shù)根，結(jié)合導數(shù)來討論方程在區(qū)間上的實根的個數(shù)，從而確定函數(shù)在區(qū)間上是否存在“域同區(qū)間”.

試題解析：（1），定義域為，

且，

令，即，解得或；令，即，解得，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在“域同區(qū)間”，則有，，

則方程在區(qū)間上有兩個相異實根，

構(gòu)造新函數(shù)，定義域為，

則，

設(shè)，則，

當時，，則恒成立，

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，

故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，則有，

當時，；當時，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

因為，，，

所以函數(shù)在區(qū)間有且只有一個零點，

這與方程有兩個大于的實根相矛盾，所以假設(shè)不成立！

所以函數(shù)在區(qū)間上不存在“域同區(qū)間”.

考點：1.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.新定義；3.函數(shù)的零點