Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，且DB⊥BC，∠BCD=30°，現(xiàn)將△ABC折起，使得二面角A-BC-D為直角，則下列敘述正確的是（　�。�

①

BD

•

AC

=0；     ②平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直；③異面直線BC與AD所成的角為60°；  ④直線DC與平面ABC所成的角為30°．

A．①③

B．①④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面ABC，可得①正確．
根據(jù)平面BCD與平面ACD不垂直，可得②不正確．
過點(diǎn)C作CM和BD平行且相等，可得∠FEG為異面直線BC與AD所成的角，求得cos∠ADM的值，可得③不正確．
由條件求得∠DCB為直線DC與平面ABC所成的角，可得④正確．

解答：解：由于二面角A-BC-D為直角，BD⊥BC，BD?平面BCD，
故有BD⊥平面ABC．再由AC?平面ABC，可得BD⊥AC，
∴

BD

•

AC

=0，故①正確．
由于平面BCD與平面ACD不垂直，
故平面BCD的法向量與平面ACD的法向量不垂直，故②不正確．
設(shè)AB=AC=2，則 BC=2

2

，BD=BCtan30°=

2 6

3

．
過點(diǎn)C作CM和BD平行且相等，則由題意可得BDMC為矩形，
∴∠ADM（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與AD所成的角．
求得AD=CM=

BD2+AB2

=

2 15

3

．
等腰三角形ADM中，cos∠ADM=

1 2 DM

AD

=

30

10

，故銳角∠ADM 不等于60°，故③不正確．
由BD⊥平面ABC 可得BC為DC在平面ABC內(nèi)的射影，∴∠DCB=30°為直線DC與平面ABC所成的角，故④正確．
綜上可得，只有①④正確，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面圖形的翻折問題，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，直線和平面所成的角、異面直線所成的角的定義和求法，屬于中檔題．