已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，一個焦點坐標為F(-
3
，0)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）點N是橢圓的左頂點，點P是橢圓C1上不同于點N的任意一點，連接
NP并延長交橢圓右準線與點T，求
TP
NP
的取值范圍；
（3）設曲線C2：y=x2-1與y軸的交點為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C2、橢圓C1相交于點A、D和B、E，（如圖），記△MAB、
△MDE的面積分別是S1，S2，當
S1
S2
=
27
64
時，求直線AB的方程．
分析：（1）先利用離心率和焦點坐標，得到一個關于參數(shù)的方程組，解這個方程組即可求出參數(shù)，進而求出橢圓C1的方程．
（2）由題設條件行求出N（-2，0），橢圓右準線：x=
4
3
3
，設P（x，y），則
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，再由-2≤x≤2，能求出
TP
NP
的取值范圍．
（3）先把直線MA的方程與拋物線方程聯(lián)立可得點A的坐標，再利用弦長公式求出|MA|，同樣的方法求出|MB|進而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直線l滿足題中條件了．
解答：解：（1）∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，
一個焦點坐標為F(-
3
，0)，
∴
c
a
=
3
2
c=
3
，
∴a=2，c=
3
，b=
4-3
=1，
∴橢圓C1的方程為：
x2
4
+y2=1．
（2）∵N是橢圓C1：
x2
4
+y2=1的左頂點，點P是橢圓C1上不同于點N的任意一點，
∴N（-2，0），橢圓右準線：x=
4
3
3
，
設P（x，y），則
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
，
∵-2≤x≤2，
∴
TP
NP
=
4
3
3
-x
x+2
∈[
2
3
-3
6
，+∞）．
故
TP
NP
的取值范圍是[
2
3
-3
6
，+∞）．
（3）設直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為y=k1x-1．
由
y=k1x-1
y=x2-1
，解得
x=0
y=-1
，或
x=k1
y=k12-1
．
則點A的坐標為（k1，k12-1）．
又直線MB的斜率為-
1
k1
，同理可得點B的坐標為（-
1
k1
，
1
k12
-1）．
于是S1=
1
2
|MA|•|MB|=
1
2
1+k12
•|k1|•
1+
1
k12
•|-
1
k1
|=
1+k12
2|k1|
．
由
y=k1x-1
x2+4y2-4=0
，得（1+4k12）x2-8k1x=0．
解得
x=0
y=-1
，或
x=
8k1
1+4k12
y=
4k12-1
1+4k12
，則點D的坐標為（
8k1
1+4k12
，
4k12-1
1+4k12
）．
又直線ME的斜率為-
1
k1
．同理可得點E的坐標為（
-8k1
1+4k12
，
4-k12
4+k12
）．
于是S2=
1
2
|MD|•|ME|=
32(1+k12)•|k1|
(1+4k12)(k12+4)
．
故
S1
S2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)=
27
64
，解得k12=2，或k12=
1
2
．
又由點A，B的坐標得，k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
．所以k=±
2
2
．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程為y=
2
2
x和y=-
2
2
x．
點評：本題是對橢圓與拋物線以及直線與拋物線和直線與橢圓的綜合問題的考查．是一道整理過程很麻煩的題，需要要認真，細致的態(tài)度才能把題目作好．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習冊答案