（2013•河西區(qū)一模）已知對稱中心為坐標原點的橢圓C1與拋物線C2：x2=4y有一個相同的焦點F1，直線l：y=2x+m與拋物線C2只有一個公共點．
（1）求直線l的方程；
（2）若橢圓C1經(jīng)過直線l上的點P，當橢圓C1的離心率取得最大值時，求橢圓C1的方程及點P的坐標．
分析：（1）根據(jù)直線l：y=2x+m與拋物線C2只有一個公共點，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，從而可求m的值，即可得到直線l的方程；
（2）橢圓兩焦點F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），橢圓過直線l上的點P，要使橢圓的離心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2關(guān)于直線L的對稱點F3到F1的距離即可．
解答：解：（1）又因為直線l：y=2x+m與拋物線C2只有一個公共點，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x2-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直線l的方程為：y=2x-4．
 （2）拋物線C2：x2=4y的焦點坐標為F1（0，1），所以橢圓C1中，c=1，焦點在y軸上，
所以橢圓兩焦點F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1）．
橢圓又過直線l上的點P，要使橢圓的離心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，
只需求F2關(guān)于直線L的對稱點F3到F1的距離即可．
設F2關(guān)于直線L的對稱點F3（m，n），
∴
n+1
m-0
×2=-1
n-1
2
=2×
m
2
-4
，解得
m=
12
5
n=-
11
5
，
即F3（
12
5
，-
11
5
），所以直線F1F3方程為：
y-1
-
11
5
-1
=
x
12
5
，即y=-
4
3
x+1，
與直線l聯(lián)立
y=-
4
3
x+1
y=2x-4
，可得
x=
3
2
y=-1
，即P（
3
2
，-1）；
此時橢圓C1中，2a=|F1F3|=4，
∴a2=4，
∴b2=a2-c2=3，
∴橢圓方程為
y2
4
+
x2
3
=1
點評：本題考查直線與橢圓的方程，解題的關(guān)鍵是使橢圓的離心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2關(guān)于直線L的對稱點F3到F1的距離即可．
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（2）對任意的正實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，證明：（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）；
（3）對任意的n∈N*，且n≥2，證明：
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
lnn
＜
1-f(n+1)
ln2•lnn
．

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1
2
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a8+a9
a6+a7
等于（　�。�

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(2，
3π
4
)
(2，
3π
4
)
．

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x2
3
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