【題目】如圖所示,以2為半徑的半圓弧所在平面垂直于矩形所在平面,是圓弧上異于、的點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)當(dāng)四棱錐的體積最大為8時(shí),求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)由平面平面,可得平面,得,又,從而得到平面利用面面垂直的判定定理即可得到證明;(2)由題意可知在圓弧的中點(diǎn)上且在、上取中點(diǎn)、,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OE,OB,OS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求平面SAD和平面SCD的法向量,然后利用向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算即可.
(1)由已知,平面平面,交線為,
且,平面
所以平面,故
是圓弧上異于、的點(diǎn),且為直徑,所以
又,所以平面
又平面,所以平面平面
(2)顯然當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí),在圓弧的中點(diǎn)上,
,所以
分別在、上取中點(diǎn)、,則可得、、三者兩兩垂直,
分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則,,,
,,
因?yàn)?/span>平面,可取是平面的一個(gè)法向量
設(shè)是平面的法向量
所以,
取,可得,,
設(shè)平面與平面所成的銳二面角大小為
則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)、為拋物線上的兩點(diǎn),與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,直線的斜率為.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn),、為拋物線(除原點(diǎn)外)上的不同兩點(diǎn),直線、的斜率分別為,,且滿足,記拋物線在、處的切線交于點(diǎn),若點(diǎn)、的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)的兩條線段圍成.設(shè)圓弧、所在圓的半徑分別為、米,圓心角為(弧度).
(1)若,,,求花壇的面積;
(2)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮花壇邊緣(實(shí)線部分)的裝飾問題,已知直線部分的裝飾費(fèi)用為元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為元/米,預(yù)算費(fèi)用總計(jì)元,問線段的長(zhǎng)度為多少時(shí),花壇的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
(2)如果對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l經(jīng)過點(diǎn)F且與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若線段AB的中點(diǎn)在直線y=2上,求直線l的方程;
(2)若線段|AB|=20,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+,且此函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,5).
(1)求實(shí)數(shù)m的值并判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù),其中a>1.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的增減性;
(3)當(dāng)時(shí),f(x)的值域是(1,+∞),求n與a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列選項(xiàng)中正確的有( )
A.的定義域?yàn)?/span>
B.為奇函數(shù)
C.在定義域上是增函數(shù)
D.函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),直線.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)求證:對(duì)于任意,直線都不是曲線的切線;
(Ⅲ)試確定曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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