【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且滿足a3 , 成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=log3(anan+1)(n∈N*),求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn .
【答案】
(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q>1,∵a3, 成等差數(shù)列.
∴ a4=a3+a5,化為:3q2﹣10q+3=0,解得q=3.∴an=3n﹣1
(2)解:bn=log3(anan+1)= =2n﹣1,
∴anbn=(2n﹣1)3n﹣1.
∴數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn=1+3×3+5×32+…+(2n﹣1)3n﹣1.
3Sn=3+3×32+5×33+…+(2n﹣3)3n﹣1+(2n﹣1)3n,
∴﹣2Sn=1+2(3+32+…+3n﹣1)﹣(2n﹣1)3n=1+2× ﹣(2n﹣1)3n=(2﹣2n)3n﹣2,
∴Sn=1+(n﹣1)3n
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q>1,由a3 , 成等差數(shù)列.可得 a4=a3+a5 , 化為:3q2﹣10q+3=0,解得q即可得出.(2)bn=log3(anan+1)= =2n﹣1,可得anbn=(2n﹣1)3n﹣1 . 利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(及其變式)和數(shù)列的前n項(xiàng)和,掌握通項(xiàng)公式:;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,AP=AB=AC=a, ,PA⊥底面ABCD.
(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;
(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值為 ?若存在,求出 的值?若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=(x2﹣3)ex(其中x∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),當(dāng)t1>0時(shí),關(guān)于x的方程[f(x)﹣t1][f(x)﹣t2]=0恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)t2的取值范圍是( )
A.(﹣2e,0)
B.(﹣2e,0]
C.[﹣2e,6e﹣3]
D.(﹣2e,6e﹣3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題: ①若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,則Sn , S2n﹣Sn , S3n﹣S2n是等差數(shù)列;
②若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,則Sn , S2n﹣Sn , S3n﹣S2n是等比數(shù)列;
③若數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}為等差數(shù)列;
④若數(shù)列{an},{bn}均為等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}為等比數(shù)列
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)P(1,0),曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,傾斜角為α的直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(α﹣θ)=sinα.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C與直線l交于M,N兩點(diǎn),且 ,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校開設(shè)的校本課程分別有人文科學(xué)、自然科學(xué)、藝術(shù)體育三個(gè)課程類別,每種課程類別開設(shè)課程數(shù)及學(xué)分設(shè)定如下表所示:
人文科學(xué)類 | 自然科學(xué)類 | 藝術(shù)體育類 | |
課程門數(shù) | 4 | 4 | 2 |
每門課程學(xué)分 | 2 | 3 | 1 |
學(xué)校要求學(xué)生在高中三年內(nèi)從中選修3門課程,假設(shè)學(xué)生選修每門課程的機(jī)會(huì)均等.
(Ⅰ)甲至少選1門藝術(shù)體育類課程,同時(shí)乙至多選1門自然科學(xué)類課程的概率為多少?
(Ⅱ)求甲選的3門課程正好是7學(xué)分的概率;
(Ⅲ)設(shè)甲所選3門課程的學(xué)分?jǐn)?shù)為X,寫出X的分布列,并求出X的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , 過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),AF2、BF2分別交y軸于P、Q兩點(diǎn),若△PQF2的周長(zhǎng)為12,則ab取得最大值時(shí)該雙曲線的離心率為( )
A.
B.
C.2
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x﹣1|.
(1)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍;
(2)若集合{x|f(x)+ax﹣1>0}=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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