Question

【題目】設(shè)離心率為3，實(shí)軸長(zhǎng)為1的雙曲線（）的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)在軸上.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，再由雙曲線的性質(zhì)求得，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解最值即可.

解：（1）由已知可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

在雙曲線中有

解得，點(diǎn)，

又拋物線的準(zhǔn)線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，

，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線，

，，

則聯(lián)立消去得，

故，，

且，即，

由點(diǎn)，在拋物線上得，

由得，

解得或（舍），

則，滿足，則，

弦長(zhǎng)

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

故的最小值為12.