Question

已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過拋物線C：x²=4y的焦點F．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過坐標平面上的點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，它們分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點．
（i）若點F′恰好是點F關于-軸的對稱點，且l₃與拋物線c的切點恰好為拋物線的頂點（如圖），求證：△ABF′的外接圓過點F；
（ii）試探究：若改變點F′的位置，或切線l₃的位置，或拋物線C的開口大小，（i）中的結論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結論成立的命題，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的離心率為，可得，=，根據(jù)橢圓過拋物線C：x²=4y的焦點F．可知點F（0，1）滿足橢圓方程，再根據(jù)a²=b²+c²，即可求出a，b，c，得出橢圓方程．
（II）（i）只要能求出△ABF′的外接圓方程，再驗證點F是否在圓上，命題就得證．可先求出三條切線方程，分別聯(lián)立，求三條切線交點，再利用待定系數(shù)法求△ABF′的外接圓方程，最后，把F點坐標代入，看是否滿足方程即可．
（ii）命題可寫出幾個，選最好證明的寫，不妨寫成：設F^′為拋物線外一點，若過點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點，則：△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．仿照（i），把三條切線方程設出，分別聯(lián)立，求三個交點坐標，再證，F(xiàn)^′，A，B，F(xiàn)四點共圓，來證明命題．
解答：解：（I）由已知得F（0，1），設橢圓方程為（a＞b＞0），則，b=1
橢圓的離心率為，可得，=，又∵a²=b²+c²，∴a=2，c=
∴橢圓方程為
（II）（i）依題意，點F^′的坐標為（0，-1），過點F'且與拋物線c相切的直線斜率存在，
設其方程為y=kx-1．代入拋物線方程，消y，得x2-4kx+4=0，令△=0，得k=±1
則切線l₁和l₂方程分別為y=x-1和y=-x-1，又∵且l₃與拋物線c的切點恰好為拋物線的頂點．
∴l(xiāng)₃的方程為y=0．
由，得點A坐標為（1，0）
由，得點B坐標為（-1，0）
設△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+4F=0，則，解得
∴設△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²=1
：△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．
（ii）使（i）中的結論成立的命題為：設F^′為拋物線外一點，若過點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點，則△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．
證明：不妨設拋物線方程為x²=2py，l_i分別與拋物線交于點P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3）
依題意，x₁，x₂，x₃中至少有兩個不為0，不妨設x₁≠0，x₂≠0．
∵故切線l_i的方程為y-y_i=（x-x_i），i=1，2，3
由，得F^′（，）
 由    得A（  ，）                  
   ，得B（  ，）
∴AF^′的垂直平分線方程為y-=-（x-），
    BF^′ 的垂直平分線方程為 y-=-（x-）
它們的交點為M（，）
又∵F（0，），AF的中點為N（，）
從而  =（ ，），=（ ，）
 =（）+•=0  
∴，∴AF^′，BF^′AF的垂直平分線教育一點M圓上，即△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．
點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，題目較難，須認真考慮．