Question

已知函數(shù)f(x)=sin(

π

2

+x)cos(-x)+4sin

x

2

cos3

x

2

-sinx，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知A為銳角，f（A）=1，BC=2，S_△ABC=1，求AC邊的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式第一項的第一個因式利用誘導公式化簡，第二個因式利用余弦函數(shù)為偶函數(shù)化簡，第二項把cos³

x

2

分為cos

x

2

•cos²

x

2

，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，后兩項提取sinx，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，然后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，提取

2

后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，進而確定出函數(shù)的值域；
（Ⅱ）由第一問確定的函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（A）=1，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanA的值，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（

π

2

+x）cos（-x）+4sin

x

2

cos³

x

2

-sinx，
=cos²x+2•2sin

x

2

cos

x

2

•cos²

x

2

-sinx
=cos²x+sinx（2cos²

x

2

-1）
=cos²x+sinxcosx
=

1

2

（cos2x+sin2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴f（x）的值域是[0，

2 +1

2

]；
（Ⅱ）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1，
∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A，
∴sinA=cosA，
∴A=

π

4

，
∵BC=a=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-

2

bc=4①，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=1，∴bc=2

2

②，
聯(lián)立①②解得：b=

4±2 2

，
則AC=b=

4±2 2

．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的恒等變形，涉及的公式有：誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．