在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若實(shí)數(shù)λ,μ滿足a+b=λc,ab=μc2,則稱(chēng)數(shù)對(duì)(λ,μ)為△ABC的“Hold對(duì)”,現(xiàn)給出下列四個(gè)命題:
①若△ABC的“Hold對(duì)”為(2,1),則△ABC為正三角形;
②若△ABC的“Hold對(duì)”為(2,
8
9
)
,則△ABC為銳角三角形;
③若△ABC的“Hold對(duì)”為(
7
6
,
1
3
)
,則△ABC為鈍角三角形;
④若△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則以“Hold對(duì)”(λ,μ)為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是矩形,其面積為
2
-1
2

其中正確的命題是
①③
①③
(填上所有正確命題的序號(hào)).
分析:由△ABC的“Hold對(duì)”為(2,1),知
a+b=2c
ab=c2
,解得△ABC為正三角形;由△ABC的“Hold對(duì)”為(2,
8
9
)
,知
a+b=2c
ab=
8
9
c2
,解得△ABC為鈍角三角形;由△ABC的“Hold對(duì)”為(
7
6
,
1
3
)
,知
a+b=
7
6
c
ab=
1
3
c2
,解得△ABC為鈍角三角形;△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則以“Hold對(duì)”(λ,μ)為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形不一定是矩形.
解答:解:∵△ABC的“Hold對(duì)”為(2,1),
a+b=2c
ab=c2
,
解得a=b=c,
∴△ABC為正三角形,
故①正確;
∵△ABC的“Hold對(duì)”為(2,
8
9
)
,
a+b=2c
ab=
8
9
c2
,
解得a2+b2=
ab
2

∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
ab
2
-
9
8
ab
2ab
=-
5
16
<0,
∴△ABC為鈍角三角形,故②不正確;
∵△ABC的“Hold對(duì)”為(
7
6
1
3
)
,
a+b=
7
6
c
ab=
1
3
c2

解得a2+b2=25ab×
1
12
=
25
12
ab
,
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
25
12
ab-3ab
2ab
=-
11
24
<0,
∴△ABC為鈍角三角形,故③正確;
△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形,
則解得(λ,μ)之間滿足一個(gè)關(guān)系式:“1+2μ=λ的平方”這樣一個(gè)關(guān)系式,
圖象是拋物線,不是矩形.故構(gòu)成的圖形不一定是矩形,
故④不正確.
故答案為:①③.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題的真假判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意正確理解新定義.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是( 。
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(1)求角B的大;
(2)若a=4,c=3,D為BC的中點(diǎn),求△ABC的面積及AD的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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