【題目】已知圓和定點(diǎn),由圓外一點(diǎn)向圓引切線,切點(diǎn)為,且滿足

(1)求實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系;

(2)若以為圓心的圓與圓有公共點(diǎn),試求圓的半徑最小時(shí)圓的方程;

(3)當(dāng)點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí),直線是否過(guò)定點(diǎn),如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不是,說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)(3)過(guò)定點(diǎn)

【解析】

試題分析:(1)由已知Q為切點(diǎn),可知PQOQ,結(jié)合勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2及已知|PQ|=|PA|,利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a,b之間的關(guān)系(2)設(shè)圓P的半徑為R,由圓P與圓O有公共點(diǎn),且半徑最小,可知R=OP,利用兩點(diǎn)間的距離,結(jié)合(1)中a,b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值,進(jìn)而可求圓的方程法二:圓P與圓O有公共點(diǎn),圓P半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形,而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1,圓心為P過(guò)原點(diǎn)與l垂直的直線l'與l的交點(diǎn)P0,可求解;(3)首先由圓的方程求得直線方程,將其變形可求得所過(guò)定點(diǎn)

試題解析:1)連為切點(diǎn),,由勾股定理有.又由已知,故.

即:.

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)間滿足的等量關(guān)系為:.

2)解法1:設(shè)圓的半徑為,

與圓有公共點(diǎn),圓的半徑為1,

.

,故當(dāng)時(shí),

此時(shí), .得半徑取最小值時(shí)圓的方程為

解法2 與圓有公共點(diǎn),圓半徑最小時(shí)為與圓外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1,圓心為過(guò)原點(diǎn)與垂直的直線的交點(diǎn) .

直線的方程為

解方程組,得.

所以,所求圓方程為.

3

化簡(jiǎn)得,同理

所以,直線MQ的方程為 ,代入上式得

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(1)若每日來(lái)回的次數(shù)是車(chē)頭每次拖掛車(chē)廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù),求此一次函數(shù)解析式:

(2)在(1)的條件下,每節(jié)車(chē)廂能載乘客110人.問(wèn)這列火車(chē)每天來(lái)回多少次才能使運(yùn)營(yíng)人數(shù)最多?并求出每天最多運(yùn)營(yíng)人數(shù)。

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(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出對(duì)的回歸直線方程;

(3)已知該公司技術(shù)升級(jí)前生產(chǎn)100噸產(chǎn)品的成本為90萬(wàn)元.試根據(jù)(2)求出的回歸直線方程,預(yù)測(cè)技術(shù)升級(jí)后生產(chǎn)100噸產(chǎn)品的成本比技術(shù)升級(jí)前約降低多少萬(wàn)元?

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1的值;

2若存在一條與軸垂直的直線和函數(shù)的圖象相切,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí),函數(shù)存在極值?并求出相應(yīng)的極值點(diǎn).

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(1)求的值;

(2)求的值.

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