【題目】如圖,已知四棱錐,底面為邊長為2的菱形,平面,,,分別是,的中點.
(1)判定與是否垂直,并說明理由;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)垂直,證明過程詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題(1)判斷垂直.證明AE⊥BC.PA⊥AE.推出AE⊥平面PAD,然后證明AE⊥PD.
(2)由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),求出平面AEF的一個法向量,平面AFC的一個法向量.通過向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值.
解:(1)垂直.
證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,
可得△ABC為正三角形.
因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因為PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,
所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD,
所以AE⊥PD.
(2)由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又E,F分別為BC,PC的中點,∴A(0,0,0),,,D(0,2,0),P(0,0,2),,,
所以,.
設(shè)平面AEF的一個法向量為,則,
因此,取z1=﹣1,則.
因為BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
所以BD⊥平面AFC,故為平面AFC的一個法向量.
又,所以.
因為二面角E﹣AF﹣C為銳角,所以所求二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 (,且為常數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間內(nèi),存在且時,使不等式成立,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品700件,該工廠對這些產(chǎn)品進(jìn)行了安全和環(huán)保這兩個性能的質(zhì)量檢測。工廠決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測,現(xiàn)將700件產(chǎn)品按001,002,…,700進(jìn)行編號;
(1)如果從第8行第4列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢測的3件產(chǎn)品的編號;
(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7~9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100件產(chǎn)品的安全性能和環(huán)保性能的質(zhì)量檢測結(jié)果如下表:
檢測結(jié)果分為優(yōu)等、合格、不合格三個等級,橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中,產(chǎn)品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為,求,的值。
件數(shù) | 環(huán)保性能 | |||
優(yōu)等 | 合格 | 不合格 | ||
安全性能 | 優(yōu)等 | 6 | 20 | 5 |
合格 | 10 | 18 | 6 | |
不合格 | 4 |
(3)已知,,求在安全性能不合格的產(chǎn)品中,環(huán)保性能為優(yōu)等的件數(shù)比不合格的件數(shù)少的概率。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)如圖,長方形材料中,已知,.點為材料內(nèi)部一點,于,于,且,. 現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料,滿足,點、分別在邊,上.
(1)設(shè),試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù),并指明的取值范圍;
(2)試確定點在上的位置,使得四邊形材料的面積最小,并求出其最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知當(dāng)(其中是自然對數(shù))時,在上至少存在一點,使成立,求的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時,對任意, ,有.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,判斷方程在區(qū)間上有無實根;
(3)若時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com