如圖所示,平面平面,且四邊形為矩形,四邊形為直角梯形,,,
(1)求證平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
(1)證明見解析;(2).

試題分析:(方法一:傳統(tǒng)幾何方法)(1)證明線面平行,可在平面內(nèi)找到一條線與面外的線AF平行即可,因此本小題可取CE中點為G,連接DG,F(xiàn)G,證明四邊形AFGD為平行四邊形即可完成證明;(2)本小題中可過點E作CB的平行線交BF的延長線于P,連接FP,EP,AP,把問題轉(zhuǎn)化為證明為平面與平面所成銳二面角的平面角,再利用直角三角形的邊角關(guān)系算出其余弦值.
(方法二:空間向量方法)(1)本小題可以以C為原點,CB所在直線為x軸,CE所在直線為y軸,CD所在直線為z軸建立空間直角坐標系,把問題轉(zhuǎn)化為證明AF的方向向量與平面CDE的一個法向量垂直(證它們的數(shù)量積為零),而根據(jù)題意易得這個法向量為;(2)本小題為?嫉睦每臻g向量解決面面角問題,只需找到這兩個面的法向量,利用公式完成計算即可,但要注意本題面面角為銳二面角.
試題解析:(方法一:)(1)取CE中點為G,連接DG,F(xiàn)G,

,∴四邊形BFGC為平行四邊形,則.
∵四邊形ABCD為矩形,∴,∴,
∴四邊形AFGD為平行四邊形,則
,∴.
(2)過點E作CB的平行線交BF的延長線于P,連接FP,EP,AP,
,∴A,P,E,D四點共面.四邊形為直角梯形,四邊形為矩形,,,又,平面,,又平面平面,為平面與平面所成銳二面角的平面角.
,.即平面與平面所成銳二面角的余弦值為
(方法二:)(1)四邊形為直角梯形,四邊形為矩形,,,又平面平面,且平面平面,∴平面,以C為原點,CB所在直線為x軸,CE所在直線為y軸,CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

根據(jù)題意我們可得以下點的坐標:
為平面的一個法向量,又∵
平面.
(2)設(shè)平面的一個法向量為,∵
, 取,得平面,平面一個法向量為,設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為,則.因此,平面與平面所成銳二面角的余弦值為
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱,ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且AD="A" A1,
點F為棱BB1的中點,點M為線段AC1的中點.
(1)求證: MF∥平面ABCD
(2)求證:平面AFC1⊥平面ACC1A1

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖. 直三棱柱ABC —A1B1C1中,A1B1= A1C1,點D、E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點.
求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1
(2)直線A1F∥平面ADE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,,的中點.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

.(本題14分)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)
⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;
⑵若向量分別與向量垂直,且,求向量的坐標。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設(shè),試問是否存在實數(shù),使成立?如果存在,求出;如果不存在,請寫出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,棱長為的正方體中,為線段上的動點,則下列結(jié)論錯誤的是
A.
B.平面平面
C.的最大值為
D.的最小值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

[2014·福州質(zhì)檢]對于平面α和共面的直線m,n,下列命題是真命題的是(  )
A.若m,n與α所成的角相等,則m∥n
B.若m∥α,n∥α,則m∥n
C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
D.若m?α,n∥α,則m∥n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

若向量,則這兩個向量的位置關(guān)系是___________。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案