Question

【題目】已知函數 且函數y=f（x）圖象上點（1，f（1））處的切線斜率為0．
（1）試用含有a的式子表示b，并討論f（x）的單調性；
（2）對于函數圖象上的不同兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）如果在函數圖象上存在點M（x0 ， y0），（x0∈（x1 ， x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“跟隨切線”．特別地，當 時，又稱AB存在“中值跟隨切線”．試問：函數f（x）上是否存在兩點A，B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A，B的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），

∵f′（x）= ﹣ax+b=0，

∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣ ，

當f′（x）＞0時，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，

當f′（x）＜0時，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，

∴當f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減

（2）解：假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟隨切線”，

則kAB= = ﹣ +a﹣1，

f′（ ）= ﹣ +a﹣1，

又kAB=f′（ ）得 = ，

∴l(xiāng)n =t，（t＞1），則lnt=2﹣ ，（t＞1），此式表示有大于1的實數根，

令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），則h′（t）= ＞0

∴h（t）是（1，+∞）上的增函數，

∴h（t）＞h（1）=0，與lnt=2﹣ ，（t＞1）有大于1的實數根相矛盾，

∴函數f（x）的圖象上不存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟隨切線”

【解析】（1）根據對數函數的定義求得函數的定義域，根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，利用f′（1）=0，代入導函數化簡即可得到a與b的關系式，用a表示出b；然后分別令導函數大于0和小于0得到關；（2）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區(qū)間．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減即可以解答此題．