Question

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x－m|＜|y－m|，則稱x比y接近m．

(1)若x²－1比3接近0，求x的取值范圍；

(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a²b＋ab²比a³＋b³接近2ab；

(3)已知函數(shù)f(x)的定義域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性(結(jié)論不要求證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由題意可得 　　即，解得 　　(2)證一： 　　 　　而 　　從而 　　即命題得證． 　　證法二：等價(jià)于證明， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2242/0022/7557f268af4602f6e7a62239e13a6f0b/C/Image49.gif" width=436 height=28>，于是待證不等式直接去掉絕對(duì)值符號(hào)即可，變形為，于是等價(jià)于，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2242/0022/7557f268af4602f6e7a62239e13a6f0b/C/Image52.gif" width=37 height=18>，且都是整數(shù)，所以該式顯然成立． 　　(3)根據(jù)定義知道sinx≠0，那么sinx＞0時(shí)，f(x)＝1－sinx，sinx＜0時(shí)，f(x)＝1＋sinx，于是函數(shù)在x∈(2kπ，π+2kπ)(k∈Z)時(shí)，sinx＞0時(shí)，f(x)＝1－sinx；x∈(－π＋2kπ，2kπ)(k∈Z)時(shí)，sinx＜0時(shí)，f(x)＝1＋sinx， 為偶函數(shù)，最小正周期為，最小值為0，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．