Question

在圓上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在軸上的正投影為點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，若、是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法一是從條件得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡(jiǎn)得到曲線的方程；解法二是利用相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，通過(guò)條件確定點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助點(diǎn)在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡(jiǎn)得到曲線的方程；（2）先利用條件將化簡(jiǎn)為，并設(shè)點(diǎn)，從而得到的坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)，將的代數(shù)式化為以的二次函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，求出的取值范圍.

試題解析：（1）解法1：由知點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以.

所以曲線的方程為；

解法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，

由得，，．

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上， 所以．      ①

把，代入方程①，得．

所以曲線的方程為；

（2）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445131421309149_DA.files/image028.png">，所以．

所以．

設(shè)點(diǎn)，則，即．

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以．

所以．

所以的取值范圍為.

考點(diǎn)：1.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.二次函數(shù)的最值