Question

【題目】某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區(qū)域ODC開(kāi)挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），曲線(xiàn)OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分，對(duì)邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象，與線(xiàn)段DB交于點(diǎn)N（點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合），且線(xiàn)段MN與曲線(xiàn)OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：
（1）求證：b=﹣ ；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S（t），并求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數(shù)y=ax2過(guò)點(diǎn)D（1，2），

代入計(jì)算得a=2，

∴y=2x2；

由 ，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，

由線(xiàn)段MN與曲線(xiàn)OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，

得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，

解得b=﹣

（2）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P（t，2t2）；

①直線(xiàn)MN的方程為y=kx+b，

即y=kx﹣ 過(guò)點(diǎn)P，

∴kt﹣ =2t2，

解得k=4t；

y=4tx﹣2t2

令y=0，解得x= ，∴M（ ，0）；

令y=2，解得x= + ，∴N（ + ，2）；

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為

S=S（t）=2×2﹣ ×2×[ +（ + ）]=4﹣（t+ ）；

由t+ ≥2 = ，當(dāng)且僅當(dāng)t= ，即t= 時(shí)“=”成立，

所以S≤4﹣2 ；即S的最大值是4﹣

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)y=ax2過(guò)點(diǎn)D，求出解析式y(tǒng)=2x2；由 ，消去y得△=0即可證明b=﹣ ；（2）寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，2t2），代入①直線(xiàn)MN的方程，用t表示出直線(xiàn)方程為y=4tx﹣2t2 ， 令y=0，求出M的坐標(biāo)；令y=2求出N的坐標(biāo)； ②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S（t），利用基本不等式求出S的最大值．