Question

已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時,求面積的最大值.

Answer 1

（1）;（2）.

試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要找兩個等式以確定，本題中有焦點(diǎn)為，說明，又有離心率，即，由此再加上可得結(jié)論；（2）直線與圓錐曲線相交問題，又涉及到交點(diǎn)弦，因此我們都是把直線方程（或設(shè)出）與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后消去（有時也可消去）得關(guān)于（或）的一元二次方程，再設(shè)交點(diǎn)為坐標(biāo)為，則可得，，（用表示），同時這個方程中判別式（直線與橢圓相交），可得出的取值范圍.由此可由公式是直線的斜率得出弦長，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可寫出的中垂線方程，與相交的交點(diǎn)的坐標(biāo)可得，于是有，這是關(guān)于的一個函數(shù)，利用函數(shù)的知識或不等式的性質(zhì)可求得最大值.
試題解析：（1）由已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，
，，     2分
橢圓的方程為     4分
（2），消去得
直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，，可得（*）     6分
設(shè)，
，，弦長，     8分
中點(diǎn)， 設(shè)，，，
  ，      11分

，時，，   14分
（或：
.
當(dāng)且僅當(dāng)時成立，.（用其它解法相應(yīng)給分）