Question

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=x³-x，其圖象記為曲線C．
（i）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)x₁，曲線C與其在點P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，S₂．則

S1

S2

為定值；
（Ⅱ）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明．

Answer 1

（Ⅰ）（i）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3（x-

3

3

）（x+

3

3

），
當(dāng)x∈（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-

3

3

，

3

3

）時，f′（x）＜0，
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

3

3

，

3

3

）；
（ii）曲線C與其在點P₁處的切線方程為y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 31 -1)x- 2x 31 y=x3-1

；
解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，
進而有S₁=|

∫

-x1x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

41

，用x₂代替x₁，重復(fù)上述計算過程，可得
x₃=-2x₂和S₂=

27

4

x

42

，∴

S1

S2

=

1

16

；圖形
（Ⅱ）類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：
若對于任意不等于-

b

3a

的實數(shù)x₁，曲線C′與其在點P₁（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，g（x₂）），
曲線C′與其在點P₂（x₁，g（x₁））處的切線交于另一點P₃（x₃，g（x₁）），線段P₁P₂、P₂P₃與曲線C′所圍成封閉
圖形的面積分別記為S₁，S₂，則

S1

S2

為定值；
證明如下：
因為平移變換不改變面積的大小，
故可將曲線y=g（x）的對稱中心（-

b

3a

，g（-

b

3a

））
平移至坐標(biāo)原點，因而不妨設(shè)g（x）=ax³+hx，且x₁≠0，類似（Ⅰ）（ii）的計算可得：S₁=

27

4

a

21

，S₂=

27×16

4

a

21

≠0，故

S1

S2

=

1

16

；