Question

如圖所示，有兩個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤（A）、（B）．兩個(gè)圖中三個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為60°、120°、180°．用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行玩游戲，規(guī)則是：依次隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤再隨機(jī)停下（指針固定不會(huì)動(dòng)，當(dāng)指針恰好落在分界線時(shí)，則這次結(jié)果無(wú)效，重新開始），記轉(zhuǎn)盤（A）指針對(duì)的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤（B）指針對(duì)的數(shù)為y．設(shè)x+y的值為ξ，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次則得到獎(jiǎng)勵(lì)分ξ分．
（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；
（Ⅱ） 某人玩12次，求他平均可以得到多少獎(jiǎng)勵(lì)分？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用幾何概率模型可知：P（x=1）=

1

6

、P（x=2）=

1

3

、P（x=3）=

1

2

；P（y=1）=

1

3

、P（y=2）=

1

2

、P（y=3）=

1

6

，則利用P（x＜2且y＞1）=P（x＜2）•P（y＞1），可求概率
（Ⅱ）由條件可知ξ的取值為：2、3、4、5、6，分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列及期望，從而可求玩12次，可以得到的獎(jiǎng)勵(lì)分．

解答：解：（Ⅰ）由幾何概率模型可知：P（x=1）=

1

6

、P（x=2）=

1

3

、P（x=3）=

1

2

；
P（y=1）=

1

3

、P（y=2）=

1

2

、P（y=3）=

1

6

則P（x＜2）=P（x=1）=

1

6

，P（y＞1）=P（y=2）+P（y=3）=

1

2

+

1

6

=

2

3

所以P（x＜2且y＞1）=P（x＜2）•P（y＞1）=

1

9

（Ⅱ）由條件可知ξ的取值為：2、3、4、5、6．
則P（ξ=2）=P（x=1）P（y=1）=

1

6

×

1

3

=

1

18

；P（ξ=3）=P（x=1）P（y=2）+P（x=2）P（y=1）=

1

6

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

7

36

P（ξ=4）=P（x=1）P（y=3）+P（x=2）P（y=2）+P（x=3）P（y=1）=

1

6

×

1

6

+

1

3

×

1

2

+

1

2

×

1

3

=

13

36

P（ξ=5）=P（x=2）P（y=3）+P（x=3）P（y=2）=

1

3

×

1

6

+

1

2

×

1

2

=

11

36

P（ξ=6）=P（x=3）P（y=3）=

1

2

×

1

6

=

1

12

ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 18	7 36	13 36	11 36	1 12

他平均一次得到的錢即為ξ的期望值：Eξ=2×

1

18

+3×

7

36

+4×

13

36

+5×

11

36

+6×

1

12

=

25

6

所以給他玩12次，平均可以得到12•Eξ=50

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概率模型，考查離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．