Question

16、設(shè)拋物線(xiàn)y²=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)為A，以B（a+4，0）為圓心，|AB|為半徑，在x軸上方畫(huà)半圓，設(shè)拋物線(xiàn)與半圓相交與不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)．
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先設(shè)M、N、P在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為M′，N′，P′，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)與圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．
（2）先假設(shè)存在a滿(mǎn)足條件，根據(jù)2|AP|=|AM|+|AN|，再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|，|AP|=|PP′|，故可得到點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)上，但與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)M、N、P在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為M′，N′，P′，由拋物線(xiàn)定義得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，又圓的方程為[x-（a+4）]²+y²=16，將y²=4ax代入得：x²-2（4-a）•x+a²+8a=0，∴x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（2）假設(shè)存在這樣的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定義知點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)上，這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，
所以這樣的a不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)的基本性質(zhì)．考查綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力．