【題目】已知橢圓()的離心率為,短軸長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意建立關(guān)于的方程組,解之可得橢圓的方程;
(Ⅱ)聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,得到關(guān)于交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,并且由根的判別式得出關(guān)于的不等式,從而得到線段的中點(diǎn),和線段的垂直平分線的方程,由點(diǎn)在其垂直平分線上得出關(guān)于的方程,可得到關(guān)于的不等式,解之可得的范圍.
(Ⅰ)由題意可知:, 得,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)設(shè),,將代入橢圓方程,
消去得,
所以,即…………①
由根與系數(shù)關(guān)系得,則,
所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又線段的垂直平分線的方程為,
由點(diǎn)在直線上,得,
即,所以…………②
由①②得,
所以,即或,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為,點(diǎn)是上的定點(diǎn),、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且線段的中點(diǎn)在線段上.
(1)拋物線的方程及的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)、分別在第一、四象限時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.證明直線過(guò)軸上的定點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線的斜率為2,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)函數(shù).
(1)求、的值及函數(shù)的解析式;
(2)若不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和都是正三角形, , E、F分別是AC、BC的中點(diǎn),且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)證明:直線⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈,要求燈柱AB與底面垂直,燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直,路燈C采用錐形燈罩,射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示,路寬AD=24米,設(shè)
(1)求燈柱AB的高h(用表示);
(2)此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最小?最小值為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小凳凳面為圓形,凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力等因素,設(shè)計(jì)的小凳應(yīng)滿足:三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面,且分細(xì)鋼管上下兩段的比值為,三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點(diǎn),厘米,求凳子的高度及三根細(xì)鋼管的總長(zhǎng)度(精確到).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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