Question

某商場(chǎng)預(yù)計(jì)2013年1月份起前個(gè)月，顧客對(duì)某種商品的需求總量（單位：件）與的關(guān)系近似地滿足：.該商品第月的進(jìn)貨單價(jià)（單位：元）與x的近似關(guān)系是：

（1）寫(xiě)出今年第月的需求量件與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問(wèn)商場(chǎng)2013年第幾月份銷售該商品的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？

Answer 1

（1）
（2）商場(chǎng)2011年第5月份的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3125元

本試題主要是考查了函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，主要是分段函數(shù)的運(yùn)用。
（1）根據(jù)前x個(gè)月的總量，作差法得到第x個(gè)月的銷售商品的需求量，然后得到關(guān)系式。
（2）根據(jù)題意設(shè)出變量，并能利用變量得到關(guān)于利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，借助于分段函數(shù)的性質(zhì)，逐一求解最值，再比較大小得到結(jié)論。
解：（1）當(dāng) …………1分
當(dāng),且時(shí)，
  …………4分
驗(yàn)證符合(x∈N^*，且). …………5分
（2）該商場(chǎng)預(yù)計(jì)第x月銷售該商品的月利潤(rùn)為:
g(x)=
=
…………8分
當(dāng)時(shí),
令,解得(舍去).      …………9分
當(dāng)時(shí)，g′(x) ＞0，當(dāng)時(shí)，g′(x) ＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，g(x)_max=g(5)=3125（元）.　 …………11分
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),
當(dāng)時(shí),（元） …………13分
綜上，商場(chǎng)2011年第5月份的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3125元.   …………14分