Question

【題目】已知矩形，面，分別是的中點，設(shè)，．

（1）證明：；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

解法一（1）接，交于點，連，，可得，，可得面，從而可證明結(jié)論.
（2）根據(jù)條件，面,則，又是矩形，則，可得面,所以，所以就是二面角的平面角，再根據(jù)，可求得答案.

解法二，建系（1）利用空間向量數(shù)量積計算證明，（2）先求兩平面法向量，再根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系得結(jié)果.

（1）如圖連接，交于點，

因為是矩形，所以是與的中點，再連，．

因為分別是的中點，

所以，

所以．

又因為面，所以面，

．

又因為面，面，所以面，

而面，所以．

（2）因為面,則

是矩形，則,又

所以面,所以

所以就是二面角的平面角，

因為且所以，

故二面角的平面角為．

解法二：

（1）證明：如圖，以為原點，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

，，

．

（2）由（1）知，，

，，

可知平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則，

解得．

設(shè)二面角的平面角為，

則，

故二面角的平面角為．