Question

本小題滿分12分）設M是由滿足下列條件的函數(shù)f (x)構成的集合：①方程f (x)一x=0有實根；②函數(shù)的導數(shù)滿足0＜＜1.
(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素，證明：方程f(x)一x=0只有一個實根；
（2）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；
(3)設函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，
證明：

Answer 1

(1)令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù),
所以，方程，即至多有一解，又由題設①知方程有實數(shù)根，所以，方程有且只有一個實數(shù)根；(2)；(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調(diào)遞增，∴,即，
令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴,即，
∴，則有

試題分析：令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù),
所以，方程，即至多有一解，
又由題設①知方程有實數(shù)根，
所以，方程有且只有一個實數(shù)根…………………………………..4分
(2)易知，，滿足條件②；
令，
則，…………………………………..7分
又在區(qū)間上連續(xù)，所以在上存在零點，
即方程有實數(shù)根，故滿足條件①，
綜上可知，……………………………………8分
(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調(diào)遞增，
∴,即，
令，則，故是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴,即，
∴，則有….……………..….12分
點評：近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學思想（分類與整合、數(shù)與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結合.