Question

12．我州某高中一研究性學習小組，在某一告訴公路服務區(qū)進行社會實踐活動，從小型汽車中按進服務區(qū)的先后，每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），統(tǒng)計后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）此研究性學習小組在采樣中，用到的是什么抽樣方法？并求這40輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值；
（2）若從車速在[70，80）的車輛中任抽取2輛，求車速在[75，80）的車輛數X的數學期望．

Answer 1

分析 （1）每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取樣本數據，符合系統(tǒng)抽樣的特征，可得用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；
由小矩形最高的是[85，90）組，可得樣本數據的眾數為$\frac{85+90}{2}$，0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35＜0.5，設0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×m=0.5，解得m．
（2）車速在[70，80）的車輛共有6輛，車速在[70，75）和[75，80）的車輛分別有2輛和4輛，若從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，車速在[75，80）的車輛數為x，則x的可能取值為1，2，3，利用超幾何分布列計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取樣本數據，符合系統(tǒng)抽樣的特征，∴在采樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；
∵小矩形最高的是[85，90）組，∴樣本數據的眾數為$\frac{85+90}{2}$=87.5．
∵0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35＜0.5，設0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×m=0.5，則m=2.5，
∴中位數的估計值為85+m=87.5；…（6分）
（2）車速在[70，80）的車輛共有6輛，車速在[70，75）和[75，80）的車輛
分別有2輛和4輛，若從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，車速在[75，80）的車輛數為x，則x的可能取值為1，2，3；
∴P（x=1）=$\frac{{∁}_{2}^{2}•{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（x=2）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（x=3）=$\frac{{∁}_{2}^{0}{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴車速在[75，80）的車輛數的數學期望為Ex=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

點評 本題考查了頻率分布直方圖、超幾何分布列計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．