已知向量
a
=(sin(ωx+φ)，2)，
b
=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜
π
4
)，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的圖象一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且其圖象過點A(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，求f（x）的單調區(qū)間．
分析：（1）由已知中向量
a
=(sin(ωx+φ)，2)，
b
=(1，cos(ωx+φ))(ω＞0，0＜φ＜
π
4
)，函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)，我們根據(jù)向量數(shù)量積的運算公式，及二倍角公式，結合圖象一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且其圖象過點A(1，
7
2
)．求出ω，φ，得到函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調性，結合x∈[-1，1]，可以得到f（x）的單調區(qū)間．
解答：解：（1）f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=
a
2-
b
2
=sin2（wx+y）+4-1-cos2（wx+φ）=3-cos（2wx+2φ）（2分）
依題知：
7
4
=1∴T=4
即
2π
200
=4∴w=
π
4

又過點A(1，
7
2
)∴cos(
π
2
+2φ)=-
1
2

∵φ∈(0，
2
4
)∴2φ=
π
6
（4分）
∴f(x)=3-cos(
π
2
x+
π
6
)（6分）
（2）當x∈[-1，1]時，
π
2
x+
π
6
∈[-
π
3
，
2π
3
]
當
π
2
x+
π
6
∈[-
π
3
，0]時
即x∈[-1，-
1
3
]f（x）單減（9分）
同樣當x∈[-
1
3
，1]時f（x）單增（12分）
點評：本題考查的知識點正弦型函數(shù)解析式的求法，正弦型函數(shù)的單調性，其中根據(jù)已知條件，求出函數(shù)的周期，最值，向左平移量，特殊點坐標等，進而求出正弦型函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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