Question

已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S_△MPF1=λS_△MF1F2-S_△MPF2成立，則λ的值為（　　）

• A．

  α

  α2-b2

• B．

  2α

  α2-b2

• C．

  α2-b2

  α

• D．

  α2-b2

  2α

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，利用三角形的面積公式，將條件化簡(jiǎn)，結(jié)合橢圓的定義，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r
∵M(jìn)為△PF₁F₂的內(nèi)心，S_△MPF1=λS_△MF1F2-S_△MPF2，
∴

1

2

r|PF₁|=λ×

1

2

r|F₁F₂|-

1

2

r|PF₂|
∴|PF₁|=λ|F₁F₂|-|PF₂|
∴|PF₁|+|PF₂|=λ|F₁F₂|，
∵點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)
∴2a=λ×2

a2-b2

∴λ=

α

α2-b2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查橢圓的定義，正確運(yùn)用三角形內(nèi)心的性質(zhì)是關(guān)鍵．